Théorème de Hahn-Banach
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions.
En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle.
Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.

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théorème de Hahn-Banach - Publimath
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Théorème de Hahn-Banach - Bibm@th.net
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1 Vocabulaire 1.1 Le corps ordonné des nombres réels . 1.2 Espaces topologiques . 1.3 Espaces métriques . Topologie définie par une famille de pseudo-distances . 1.4 Topologie engendrée et base d’ouverts . Topologie de l’ordre . 1.5 Voisinages . 1.6 Intérieur, adhérence, frontière . 1.7 Séparation . 1.8 Continuité . 1.9 Connexité et connexité par arcs . 1.10 Indications pour la résolution des exercices . 2 Constructions de topologies 2.1 Comparaison de topologies . 2.2 Topologie initiale . Topologie image réciproque . Topologie définie par une famille de pseudo-distances . Topologie définie par une famille de semi-normes . Topologie étroite . 2.3 Sous-espace topologique . Parties connexes . 2.4 Topologie produit . Topologie limite projective . 2.5 Topologie finale . Topologie somme disjointe . Topologie faible définie par une famille de sous-espaces . Topologie de Schwartz . 2.6 Topologie quotient . Distance quotient d’une pseudo-distance . Constructions topologiques par quotients . Topologie limite inductive . 2.7 Groupes et corps topologiques . Groupes topologiques . Les groupes classiques . Anneaux et corps topologiques . Corps valués . 2.8 Espaces vectoriels topologiques . Espaces vectoriels normés sur un corps valué . Espaces vectoriels topologiques localement convexes . Continuité des applications multilinéaires . Topologie faible . Topologie faible-étoile . 2.9 Espace quotient d’une action de groupe . 2.10 Indications pour la résolution des exercices . 3 Limites et valeurs d’adhérence 3.1 Limites . Propriétés des limites . 3.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau . 3.3 Valeurs d’adhérence . 3.4 Complétude . Suites de Cauchy . Espaces complets, de Banach, de Fréchet . Théorème du point fixe de Banach . 3.5 Indications pour la résolution des exercices . 4 Compacité 4.1 Espace compact . 4.2 Compacité et valeurs d’adhérence . 4.3 Compacité et produits . 4.4 Compacité et continuité . 4.5 Espaces localement compacts . Applications propres . L’espace des bouts d’un espace localement compact . 4.6 Théorèmes de point fixe. 4.7 Indications pour la résolution des exercices . 5 Topologie fonctionnelle 5.1 Topologie de la convergence uniforme . Exemples d’espaces fonctionnels complets . Relation avec la convergence simple . 5.2 Topologie compacte-ouverte . 5.3 Continuité uniforme . Complété d’un espace métrique. Corps valués complets . 5.4 Semi-continuité . Limites supérieures et inférieures . Semi-continuité inférieure et supérieure . 5.5 Théorème d’Arzela-Ascoli . 5.6 Approximation . 5.7 Théorie de Baire . 5.8 Indications pour la résolution des exercices . 6 Analyse fonctionnelle 6.1 Espaces de Banach . Rappels et exemples . Théorèmes de Hahn-Banach . Résultats de compacités pour topologies affaiblies . Applications de la théorie de Baire . 6.2 Espaces de Hilbert . Rappels sur les espaces préhilbertiens et définitions . Projection sur un convexe fermé . Autodualité des espaces de Hilbert réels . Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampachia . Bases hilbertiennes . 6.3 Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints bornés . Spectre des opérateurs bornés . Opérateurs compacts . Opérateurs auto-adjoints . Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts . Résolution spectrale des opérateurs auto-adjoints . 6.4 Indications pour la résolution des exercices . 7 Calcul différentiel banachique 7.1 Dérivation . Propriétés élémentaires des différentielles . 7.2 Théorème des accroissements finis et applications . 7.3 Différentielles partielles et d’ordre supérieur . Différentielles partielles. Différentielles d’ordre supérieur. Applications analytiques . Vocabulaire . 7.4 Inversion locale et équations implicites . 7.5 Théorie de Cauchy-Lipschitz . Existence locale . Solutions approchées . Unicité locale . Explosion des solutions maximales en temps fini . Cas des équations différentielles linéaires . Régularité des solutions . Propriété de la résolvante dans le cas linéaire . Dépendance régulière des conditions initiales et des paramètres . Des équations différentielles d’ordre p à celles du premier ordre . 7.6 Équations différentielles autonomes et champs de vecteurs . 7.7 Indications pour la résolution des exercices . 8 Exercices de révision 8.1 Énoncés . Chapitre 1 . Chapitre 2 . Chapitre 3 . Chapitre 4 . Chapitre 5 . Chapitre 6 . Chapitre 7 . 8.2 Indications de résolution . Index
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