Décomposition De Dunford
En mathématiques, la décomposition de Dunford (du nom de Nelson Dunford) s'inscrit dans le contexte de la réduction d'un endomorphisme. Cette approche consiste à décomposer l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces stables où l'expression de l'endomorphisme est plus simple.
Ce n'est pas une « réduction » dans le sens où elle n'est pas maximale. C'est-à-dire qu'il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits.
Elle prend comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. Cette seconde hypothèse est toujours vérifiée si le corps est algébriquement clos, comme celui des nombres complexes. Dans le cas ou la propriété n'est pas vérifiée, il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Le corps des nombres réels se voit par exemple généralement étendre pour permettre une application de cette décomposition.
La décomposition de Dunford prouve que tout endomorphisme est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent, les deux endomorphismes commutant et étant uniques.
Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.

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